科学史2026-05-27

なぜエジプト人は 2/5 を 1/3+1/15 と書いたのか——リンド・パピルスと単位分数の世界【ノイゲバウアーを読む③】

前回②では、バビロニアの60進法を見ました。腕時計の60の起源は4000年前のメソポタミアにあった——というあの話です。

その途中で、エジプトの分数をちらっとだけ見せました。

📝 NOTE
エジプト：2/5 = 1/3 + 1/15（必ず分子1の分数の足し算に分解する）

「なんで、こんな面倒なことを？」と思われた方も多いと思います。普通に「2/5」と書けばいいじゃないか、と。

今日は、そこに正面から深入りします。3500年前のパピルスを開いて、ピラミッドを建てた人々が、なぜこの妙な書き方を続けたのかを見ていきます。お抹茶を、ゆっくり一服。

リンド・パピルス——3500年前の数学問題集

ノイゲバウアー『古代の精密科学』第4章は、エジプト数学の話です。最初に出てくるのが、これ。

リンド数学パピルス
（Rhind Mathematical Papyrus）

紀元前1650年ごろ、書記アーメス（Ahmes）が
さらに古い200年前（紀元前1850年ごろ）の写本をもとに
ヒエラティック文字で書き写した、長さ5メートル余りの巻物

1858年、エジプトでこれを買ったスコットランド人アレクサンダー・ヘンリー・リンドの名前から「リンド・パピルス」。いま大英博物館にあります。

リンド数学パピルス（大英博物館蔵）

リンド数学パピルスの一部。ヒエラティック文字（神官文字）で、計算や図がびっしりと書き込まれている。赤と黒のインクを使い分けているのも見てとれる。パブリックドメイン。

中身は——85問の数学問題集。実用問題（パンの分配、土地の面積、ピラミッドの傾斜）と、その解き方が、ひたすら書かれている。

問題6：9個のパンを10人で平等に分けよ。
        各人の取り分は？
   ↓
答え：2/3 + 1/5 + 1/30 （= 0.9 = 9/10）

——これが、エジプト式の答えの形なんです。「9/10」とは書かない。必ず単位分数（分子が1の分数）の足し算に分解する。

単位分数——分子は、必ず1

エジプト人が使ったのは、こういう分数だけです。

種類	例
単位分数	$\tfrac{1}{2}$ , $\tfrac{1}{3}$ , $\tfrac{1}{4}$ , $\tfrac{1}{5}$ , $\tfrac{1}{6}$ , $\tfrac{1}{7}$ ...
例外（2つだけ）	$\tfrac{2}{3}$ , $\tfrac{3}{4}$ （特別な記号あり）

それ以外の分数——たとえば $\tfrac{2}{5}$ や $\tfrac{3}{7}$ ——は、必ず単位分数の和に分解しなければならない。

📝 NOTE
エジプトの鉄則：分数とは、分子1の分数の足し算である。

これがエジプト数学のいちばん奇妙で、いちばん不便で、いちばん長く続いた特徴です。紀元前2000年から紀元後の時代まで、2000年以上も変わらなかった。

なぜ単位分数なのか？——「分け前」の発想

ノイゲバウアーは、この習慣の起源を、実用的な理由に求めます。

📝 NOTE
「エジプトの分数は、抽象的な数の概念ではなく、 『1つの全体をいくつに分けた、そのひとつ分』 という具体的な分け前の発想から生まれた」

つまり、こういうことなんです。**「9個のパンを10人で分ける」**を、エジプト式にやってみましょう。

① まず全員に $\tfrac{2}{3}$ ずつ配る。 配った量と、余りはこうなります。

\tfrac{2}{3} \times 10 = 6\tfrac{2}{3} \text{ 個}, \qquad 9 - 6\tfrac{2}{3} = 2\tfrac{1}{3} \text{ 個（余り）}

② 余った $2\tfrac{1}{3}$ 個を、もう一度10人で分ける。 「÷10」は「 $\times \tfrac{1}{10}$ 」と同じなので——

2\tfrac{1}{3} \times \tfrac{1}{10} = \tfrac{2}{10} + \tfrac{1}{30} = \tfrac{6}{30} + \tfrac{1}{30} = \tfrac{7}{30}

ひとり $\tfrac{7}{30}$ ずつ。これを単位分数に直すと $\tfrac{7}{30} = \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{30}$ 。

③ ひとりの取り分は、①と②を合わせて——

\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{30} = \tfrac{9}{10}

ポイントは②です。「大きく配って、余りをまた配る」を繰り返すと、その1回ごとの取り分が、自然に単位分数になる。実際にパンを切り分ける手順が、そのまま答えの形（ $\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{30}$ ）になっているんです。「9/10」という抽象的な数ではなく、「分け方の手順」を書いている——これがエジプト式の本質です。

霧島さんなら、こう聞かれそうですね。

📝 NOTE
霧島：いやいや、9/10 のままでええやんか。なんで毎回バラバラに分ける？

カナタの答えはこうです。**「分子が1じゃないものは、分けたあとの『取り分』として意味がわからなかった」**から。

「3/7 のパン」と言われても、エジプト人の感覚では**「3個の何か」であって、「ひとつの取り分」ではない**。だから必ず「ひとり分はいくつ」の形に直す——これが彼らの数学の出発点なんですね。

リンド・パピルスの心臓部——2/n 表

リンド・パピルスのいちばん最初に、こんなものが書かれています。

2/3 = 1/2 + 1/6
2/5 = 1/3 + 1/15
2/7 = 1/4 + 1/28
2/9 = 1/6 + 1/18
2/11 = 1/6 + 1/66
2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
…
2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606

これが**「2/n表」。奇数 n について、 $\tfrac{2}{n}$ を単位分数の和に分解する早見表**です。n=5 から n=101 まで、全部書いてある。

なぜ奇数だけ？

偶数なら簡単：2/6 = 1/3、2/8 = 1/4 …
   ↓
奇数だと、ひと工夫いる：2/5 = ?
   ↓
そこで、奇数だけ覚えておく早見表が必要になる

ちなみに「2/n」だけあれば、ほとんどの計算ができる理由は——エジプトの掛け算が、徹底して「倍々」だったからです。

エジプトの掛け算は、ぜんぶ「倍々」

エジプト人は、整数の掛け算をこうやりました。

例：13 × 12 を計算する

13を「2の累乗の和」に分解：13 = 1 + 4 + 8

1  × 12 = 12  ✓
2  × 12 = 24
4  × 12 = 48  ✓
8  × 12 = 96  ✓
   ↓
12 + 48 + 96 = 156

倍々にして、必要なやつだけ足す。掛け算の九九は使わない。倍にする操作と、足し算だけで、すべての掛け算が完結する。

これは現代のコンピュータの2進法（バイナリ計算）と、原理的にまったく同じです。3500年前のエジプト書記が、コンピュータと同じ計算原理を使っていた——と言うと驚かれるかもしれませんが、本当です。

そして——分数も「2倍」を使いたい。だから「2/n表」が必要になるんです。

12 × 1/5 を計算したい

1   × 1/5 = 1/5
2   × 1/5 = 2/5  ← ここで「2/5」を単位分数に直す必要がある！
                   2/n表を見て、2/5 = 1/3 + 1/15
4   × 1/5 = 2 × (1/3 + 1/15) = ?  ← また2倍する
…

——お分かりですよね。分数の2倍を何度もするので、「2/奇数」の分解表が手元に絶対に必要だった。これが「2/n表」の正体です。

なぜ「2/5 = 1/3 + 1/15」なのか？

ここで素朴な疑問。 $\tfrac{2}{5}$ を単位分数の和に分解する方法は、ひとつだけではないんです。

たとえば——

\tfrac{2}{5} = \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{5}

これでも合っています。でもエジプト人は同じ単位分数を重ねるのを禁じたんです。 $\tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{5}$ は不可。「1/5 の取り分が、2回ある」のは、もう「1/5 の取り分」ではないからです。

3つ以上の分解なら、別解もあります。たとえば——

\tfrac{2}{5} = \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{12} + \tfrac{1}{15}

これも正しい（通分して確かめると $\tfrac{15}{60} + \tfrac{5}{60} + \tfrac{4}{60} = \tfrac{24}{60} = \tfrac{2}{5}$ ）。でも項が3つもあって、めんどうですよね。書記の立場で言えば、項が少ないほど嬉しい。

エジプト書記は、こうした分解の中から——

基準	説明
同じ単位分数を重ねない	「取り分」が複数あったらヘン
項数はなるべく少なく	計算が楽
各分母はなるべく小さく	やはり計算が楽

これらの条件を満たす「いちばん使いやすい分解」を、伝統として選んできたのだと考えられています。

📝 NOTE
「2/5 = 1/3 + 1/15」は、3500年前の書記が選んだ 『計算しやすさの正解』

これが、リンド・パピルスの 2/n 表の正体です。

ノイゲバウアーの推理——どうやって見つけたのか

では、書記はどうやって「2/5 = 1/3 + 1/15」にたどり着いたのか。ノイゲバウアーは、こう推理しています。

📝 NOTE
「初めに（たとえば 1/2 で）失敗すれば、今度は自然分数 1/3 を使ってみる」

自然分数とは、1/2、1/3、1/4 … といった「いかにも素直な分数」のこと。これを大きい方から順に試すんです。

2/5 を作りたい（＝1/5 を2倍したい）

【1/2 で試す】
   1/5 の半分 = 1/10
   残り：2/5 − 1/10 = 3/10
   → 3/10 は単位分数じゃない（分子が3）→ 失敗

【1/3 で試す】
   1/5 の 1/3 = 1/15
   残り：2/5 − 1/15 = 1/3
   → 1/3 は単位分数！→ 成功

だから 2/5 = 1/3 + 1/15。「ダメなら次の自然分数」と順に試して、残りがきれいな単位分数になったら勝ち——これがノイゲバウアーの考えた、書記の頭の中です。

ピラミッドの傾斜——セケド

リンド・パピルスには、こんな問題もあります。

📝 NOTE
問題56：ピラミッドの高さが250キュビト、底面の一辺が360キュビトのとき、 セケド（seked）はいくつか？

セケドとは、ひとことで言うと**「斜面の傾き（勾配）」を表す数字です。斜面の長さそのものではありません。いまで言う坂の角度**にあたります。

イメージしやすいのは、**階段やスロープの「ゆるさ・きつさ」**です。

📝 NOTE
高さが1キュビト上がるあいだに、横へ何パーム出っぱるか。

横に大きく出っぱれば「ゆるい坂」、あまり出っぱらなければ「急な坂」。この「横への出っぱり量」が、エジプトのセケドなんです。

セケド = (底辺の半分) × 7 ÷ 高さ
       = 180 × 7 ÷ 250
       = 1260 ÷ 250
       = 5 + 1/25 パーム  （← ここでも単位分数！）

※ ×7 は、1キュビト = 7パーム（手のひら幅）への単位換算

つまり「高さ1キュビト（=7パーム）上がるごとに、横へ 5 と 1/25 パーム進む坂」。角度に直すとおよそ54度——けっこう急な、堂々としたピラミッドの傾きです。エジプト人は、ピラミッドの斜面の角度を、単位分数を使ったこの「セケド」で指定して設計していた。ギザの大ピラミッドも、こうやって傾きを決めて積み上げられた——と考えると、不思議な感慨がありますね。

ノイゲバウアーの厳しい評価

さて、ここでノイゲバウアーの意外な評価を聞いてください。

📝 NOTE
「エジプトの数学は、その全期間を通じて、 本質的に初等的なレベルにとどまった。」

——え？ピラミッドを建てたのに？

ノイゲバウアーは、こう続けます。

バビロニア数学：
  紀元前1800年 → 二次方程式・三次方程式が解ける
  紀元前300年   → 線形ジグザグ関数で天体運動を予測

エジプト数学：
  紀元前1850年 → 単位分数と倍々計算
  紀元前300年   → 単位分数と倍々計算
                  （2000年間、ほとんど発展しなかった）

ノイゲバウアーの厳しい目から見ると、エジプト数学は「実用的だが、停滞した」。バビロニアが代数や天文計算へと進化していったのに対し、エジプトは最後まで「パンの分配」のレベルにとどまった、というわけです。

📝 NOTE
「ピラミッドの偉大さは、彼らの数学の高度さではなく、 彼らの実用的な工夫と労働組織の偉大さである。」

これは——ちょっと耳の痛い話でもあります。「古代エジプト＝高度な文明」というイメージが、ノイゲバウアーの一次資料の前では、少し違う姿に見えてくるんですね。

まとめ——お抹茶3杯目

No.	第4章のまとめ
1	エジプト数学の主資料はリンド・パピルス（紀元前1650年）
2	分数は必ず単位分数（分子1）の和に分解する
3	例外は 2/3 と 3/4 だけ。特別な記号を持つ
4	リンド・パピルスの冒頭に「2/n 早見表」があり、計算の心臓部
5	掛け算は倍々法——現代のコンピュータと同じ原理
6	分解は「自然分数を大きい順に試す」方法で見つけた
7	ピラミッドの傾斜「セケド」も単位分数で表記
8	ノイゲバウアーの評価：2000年間ほぼ発展せず

エジプトの分数は、**「実際にパンを切り分ける手順」**を、そのまま記号にしたものでした。だから直感的で、現場で迷わない。でも、抽象化が進まなかった——ここがバビロニアとの決定的な違いだったんです。

📝 NOTE
エジプト人：手順を、丁寧に記録した。 バビロニア人：規則を、抽象化して、操作した。

この差が、2000年かけて、バビロニアからギリシア・イスラム数学への爆発的発展を生み、エジプトはその流れの脇に取り残されていく——というのが、ノイゲバウアー第4章の、ちょっと切ない結論なんです。

次回のノイゲバウアーを読む： 4000年前の月と惑星——バビロニアの天文学が、なぜそんなに精密だったのか。いよいよ本書の中心テーマである古代天文学に入ります。エジプトとの差が、ここで決定的に開きます。

📚 シリーズ：ノイゲバウアーを読む

1なぜ、いま、70年前の本を読むのか——ノイゲバウアー『古代の精密科学』を読む【序章】
2あなたの腕時計の中の4000年——バビロニア60進法と、ゼロの誕生【ノイゲバウアーを読む②】
3なぜエジプト人は 2/5 を 1/3+1/15 と書いたのか——リンド・パピルスと単位分数の世界【ノイゲバウアーを読む③】
4夜空に物差しをあてた人々——バビロニア天文学と「ジグザグ関数」の発明【ノイゲバウアーを読む④】

きりしまノート